计算机科学-随机与矩阵

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本文针对非凸随机优化问题,设计了两种适用于不同场景的压缩去中心化算法。这两种算法均采用了动量技术以加速收敛,同时引入消息压缩技术以降低通信成本。尽管动量加速和压缩通信在文献中已被广泛应用,但理论上证明这两种技术在去中心化算法中的组合效果并非易事,特别是在需要同时控制一致性误差、压缩误差以及动量梯度带来的偏差的情况下。本文通过严谨的数学分析,成功证明了所提出的算法能够在保持动量加速的快速收敛特性和压缩通信的低成本优势的同时,有效应对上述挑战。研究中,作者详细阐述了算法的设计思路,包括如何在去中心化环境中平衡计算与通信的开销,以及如何通过动量更新机制提升优化效率。关键发现表明,这两种算法在非凸优化问题上表现出优异的性能,不仅在理论上保证了收敛性,而且在实际应用中显著减少了通信开销。实验结果进一步验证了算法在分布式机器学习任务中的有效性,尤其是在大规模网络环境下,相较于传统方法具有明显的优势。结论指出,本研究为去中心化非凸优化提供了一种高效且实用的解决方案,为未来在分布式优化领域的研究奠定了重要基础。

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本文研究了在不确定随机动力系统中进行形式化策略合成的问题。传统的策略合成方法通常通过构建有限状态抽象(如马尔可夫决策过程,MDP)来实现,而其正确性依赖于动力系统与其抽象之间的行为关系,例如概率模拟关系。然而,当系统动力学同时受到随机性和非确定性(即集合值)干扰的影响时,传统的概率模拟关系不再适用。本文提出了一种新的概率交替模拟关系,适用于同时具有随机性和非确定性干扰的系统。该关系受到交替模拟概念的启发,扩展了现有用于验证和策略合成的关系。直观上,这种关系允许在随机不确定性上进行概率推理,同时在非确定性干扰上进行鲁棒(即对抗性)推理。本文通过理论分析和实验验证了该关系的有效性,特别是在策略合成中的应用。实验部分以一个四维状态的Dubins车辆为例,展示了所提出关系在实际问题中的适用性。研究结果表明,该方法能够在复杂的不确定环境中生成有效的控制策略,为随机动力系统的形式化合成提供了新的工具和视角。作者还讨论了该关系的局限性以及未来可能的研究方向,例如如何进一步优化抽象构建过程以提高计算效率,以及如何将该方法扩展到更复杂的多智能体系统。

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本文研究了小批量随机梯度下降(SGD)的收敛行为,发现其对批量大小和学习率设置高度敏感。近期理论研究揭示了存在一个关键批量大小,能够最小化随机一阶预言(SFO)复杂度,即在深度神经网络中达到经验损失函数驻点所需的梯度评估的期望次数。基于这一理论发现,本文提出了一种自适应调度策略以加速SGD的收敛。该策略根据训练过程中全梯度范数的衰减情况动态调整批量大小和学习率。通过实验验证,基于此策略的自适应联合调度器在收敛速度上显著优于现有调度器。研究背景聚焦于深度学习优化问题,特别是在大规模数据集和复杂模型中如何高效地调整超参数以提升训练效率。主要方法包括理论分析关键批量大小对SFO复杂度的影响,并设计自适应算法实时调整训练参数。关键发现表明,动态调整批量大小和学习率能够有效减少梯度评估次数,从而加速收敛过程。结论指出,该自适应调度策略在实际应用中展现出较强的实用性和性能提升潜力,为深度学习优化提供了一种新的思路和工具。未来研究可进一步探索该方法在不同模型架构和数据集上的泛化能力,以及与其他优化技术的结合效果。

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本文提出并分析了一种高效的低秩求解器,用于解决具有随机水力传导率的随机Stokes-Darcy界面模型,涵盖了多孔介质域和界面上的随机性。研究特别考虑了三种带有随机性的界面条件,包括自由流动与多孔介质流动界面上的Beavers-Joseph界面条件及其随机水力传导率。该求解器采用了一种新颖的广义低秩近似方法来处理大规模刚度矩阵,能够在不损失精度的前提下显著降低矩阵求逆的计算成本和内存需求。通过选择合适的数据压缩比,低秩求解器能够在较低的计算和空间复杂度下保持较高的数值精度。此外,本文还提出了一种确定最佳数据压缩比的策略,并对广义低秩矩阵近似算法和低秩求解器的误差进行了详细分析。最后,通过数值实验验证了所提出算法的有效性以及理论结论的正确性。本研究为处理复杂随机流体力学问题提供了一种高效的数值工具,尤其适用于需要大规模计算的Stokes-Darcy耦合模型,具有重要的应用价值。

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本文研究了随机Navier-Stokes方程的数值分析方法,重点关注随机流体模型的数值离散化技术。过去五十年中,针对不可压缩Navier-Stokes方程的数值离散化技术取得了显著进展,形成了可靠的工具,包括处理不可压缩性约束的稳定方法、解决对流主导问题的稳定离散化方案、高效的时间步长分割方法以及处理非线性特性的方法。这些工具已被成功应用于模拟更复杂的流体流动偏微分方程(PDE)模型。然而,在随机流体模型的背景下,这些工具的适用性和理论基础需要重新审视,因为随机流体模型在当前研究中日益重要。作者通过分析随机Navier-Stokes方程的特性,探讨了现有数值方法的局限性,并提出了适应随机环境的改进策略。研究的关键发现包括随机环境下数值稳定性的新挑战,以及如何通过调整离散化方法来提高计算精度和效率。文章还讨论了随机噪声对流体流动模拟的影响,强调了在随机条件下保持数值解物理意义的重要性。结论指出,未来的研究应进一步发展针对随机流体模型的专用数值方法,以应对日益复杂的应用场景,如湍流模拟和不确定性量化。

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随机梯度下降(SGD)是大规模优化的基石,然而其在现代机器学习和强化学习中常见的重尾噪声下的理论行为仍未被充分理解。本研究系统探讨了未经任何自适应修改的原始SGD是否能在这种不利随机条件下取得成功。研究假设随机梯度仅具有某个p∈(1, 2]的有限p阶矩,针对凸、强凸和非凸问题类别,建立了(投影)SGD的精确收敛保证。具体而言,在凸和强凸情况下,SGD在最小假设下达到了最小最大最优样本复杂度,分别为O(ε^{-p/(p-1)})和O(ε^{-p/(2(p-1))})。对于Hölder光滑条件下的非凸目标,研究证明了SGD能够以O(ε^{-2p/(p-1)})的速率收敛到驻点,并为此提供了一个与任意多项式步长策略的SGD相关的匹配下界。此外,研究还考虑了在标准光滑性和有限中心矩假设下的非凸小批量SGD,证明其同样达到了O(ε^{-2p/(p-1)})的样本复杂度,且在光滑性常数上可能有所改进。这些结果挑战了重尾噪声使SGD无效的普遍观点,确立了原始SGD作为一种稳健且理论上合理的基准方法,即使在方差无界的情况下也能发挥作用。本研究为理解SGD在重尾噪声环境下的行为提供了重要的理论支持,并为未来的优化算法设计奠定了基础。

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本文研究了线性系统在模型失配和加性随机扰动下的有限时域鲁棒最优控制问题。作者基于系统级综合(SLS)参数化方法,提出了一种新颖的输出反馈仿射控制策略的SLS设计,并将其扩展到分布鲁棒框架中,通过最小化成本函数并确保在最坏不确定性分布下满足约束条件,从而提升系统的鲁棒性。模型失配和随机扰动的范围分别通过1-范数和基于Wasserstein度量的模糊集进行量化。针对闭环动态,作者分析了预测输出-输入响应(基于标称参数和经验扰动样本计算)与实际闭环分布之间的分布偏移,揭示了其对模型失配和SLS参数化的依赖性。在假设成本函数和约束为凸且Lipschitz连续的条件下,作者利用鲁棒控制和分布鲁棒优化(DRO)的工具,推导了分布鲁棒SLS(DR-SLS)问题的可解重构形式。数值实验验证了所提出方法的性能和鲁棒性。研究结果表明,该方法能够在模型不确定性和随机扰动存在的情况下有效优化系统性能,并对最坏情况下的分布不确定性提供保护。这一工作为鲁棒控制设计提供了新的视角,尤其在处理复杂系统动态和不确定性分布时具有重要意义。

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本文研究了在马尔可夫噪声环境下,采用Polyak-Ruppert(PR)平均的线性随机逼近(LSA)算法的偏差和高阶误差界。研究聚焦于使用常数步长α的算法版本,并提出了一种通过线性化技术对偏差进行分解的新方法。分析表明,偏差的主导项与步长α呈线性关系,且无法通过PR平均消除。为了解决这一问题,作者引入了Richardson-Romberg(RR)外推法,有效地消除了主导偏差项。进一步地,作者推导了RR迭代的高阶矩界,并证明其主导误差项与普通平均LSA迭代的渐近最优协方差矩阵一致。研究结果表明,RR外推法在减少偏差方面具有显著优势,同时保持了算法的稳定性。通过对误差结构的深入分析,本文揭示了马尔可夫噪声对LSA算法性能的影响,并为优化随机逼近算法提供了新的理论工具和实践指导。作者还讨论了高阶误差界的具体形式,强调了RR外推法在提高算法精度方面的潜力。总之,本研究为随机优化领域中处理马尔可夫噪声的算法设计提供了重要见解,并为未来的研究奠定了理论基础。

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本文提出了一种新的集成分类器构建方法,称为引导随机森林(Guided Random Forest, GRAF)。GRAF扩展了基于局部划分构建斜决策树的思想,实现了全局划分。研究表明,全局划分弥补了决策树与提升算法之间的差距。通过理论分析,作者证明了全局划分能够降低泛化误差界。实验结果基于115个基准数据集进行评估,表明GRAF在大多数据集上取得了与现有方法相当或更优的性能,验证了其在分类任务中的有效性。此外,本文还提出了一种在随机森林框架内对数据集进行近似的新方法,该方法通过全局划分的特性进一步提升了数据近似的精度和效率。研究背景方面,随机森林作为一种经典的集成学习方法,在分类和回归任务中广泛应用,但其局部划分的局限性限制了性能提升。GRAF通过引入全局划分策略,结合了决策树的解释性和提升算法的高性能,展现出理论与实践的双重优势。关键发现包括:全局划分不仅降低了误差界,还在多种数据集上表现出更强的鲁棒性和准确性。结论指出,GRAF为集成学习领域提供了一种新的视角,尤其在数据近似和分类任务中具有潜在的应用价值,未来可进一步探索其在更大规模数据和复杂任务中的表现。

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移动机器人的自主导航依赖于感知与规划,但在大型复杂环境中面临诸多挑战,包括映射计算负担重、无人机(UAV)传感器遮挡失效、无人地面车辆(UGV)在不规则地形上的穿越困难,以及缺乏感知驱动的策略。为解决这些问题,本文提出了一种随机映射与随机投影(RMRP)方法,通过将数据映射到高维空间并进行稀疏随机投影降维,构建轻量级线性参数地图。作者提出的残余能量保持定理为该过程提供了理论保障,确保关键几何属性得以保留。基于此地图,本文进一步提出了鲁棒感知驱动轨迹规划器(RPATR)框架。对于无人机,方法统一了网格地图和欧几里得符号距离场(ESDF)地图,前端利用解析占用梯度优化初始路径以提升安全性和平滑性,后端采用闭式ESDF进行轨迹优化,并利用训练好的RMRP模型的泛化能力预测未观测区域以实现主动导航。对于无人地面车辆,该模型能够表征地形并提供闭式梯度,支持在线规划以避开大型障碍。实验验证表明,该框架在时间、内存和精度方面表现出优越的映射性能,并为高速无人机和无人地面车辆提供了计算高效且安全的导航能力。作者计划开源代码以促进社区合作。本研究为移动机器人在复杂环境中的自主导航提供了创新性解决方案,具有重要的理论和应用价值。

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本文研究了使用具有恒定步长的随机梯度下降(SGD)算法解决强凸且平滑的最小化问题。已有研究提出结合Polyak-Ruppert平均方法与Richardson-Romberg外推技术,以减少SGD的渐近偏差,同时仅略微增加方差。本文显著扩展了先前研究成果,通过对迭代次数n提供均方误差的展开式,详细分析了所得估计量的性能。研究表明,均方根误差可分解为两部分:主导项为O(n^{-1/2}),明确依赖于一个极小极大最优的渐近协方差矩阵;次级项为O(n^{-3/4}),其中3/4的幂次是目前已知的最佳结果。此外,本文还将这一结果推广至更高阶矩的界限。分析依赖于将SGD迭代视为时间齐次马尔可夫链的性质,特别地,研究建立了该链在适当定义的加权Wasserstein半度量下是几何遍历的。这一非渐近分析为SGD算法的性能提供了更深入的理论支持,揭示了其误差随迭代次数的精确衰减行为,为优化算法的设计和应用提供了重要参考。结论表明,通过结合Richardson-Romberg外推法,SGD能够在保持较低计算复杂度的同时显著提高估计精度,尤其在强凸优化问题中具有实际意义。

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本文提出了一种抽象且通用的语言,用于描述动态博弈在概率不确定性下的基本对象。作者结合了Alós-Ferrer和Ritzberger(2005)提出的决策树理论以及Harsanyi的外生不确定性概念,引入了随机决策森林的概念。外生信息通过类似过滤的结构建模,这些结构提供了关于‘实现树’的动态更新,同时本文还构建了一个适应的选择决策理论模型。具体而言,研究通过将决策树与概率不确定性相结合,探讨了在随机环境中动态博弈的决策过程,提出了一个统一的框架来处理外生信息和决策者的适应性选择行为。研究方法包括对决策森林的数学建模和分析,以及对信息动态更新的形式化描述。关键发现包括随机决策森林能够有效捕捉动态博弈中的不确定性和信息演化,为决策者在复杂环境下的行为提供了理论支持。此外,本文还揭示了外生不确定性如何通过过滤机制影响决策路径,并为后续研究提供了新的分析工具。结论指出,该框架不仅深化了动态博弈的理论基础,还为实际应用中的决策问题(如经济策略制定和风险管理)提供了新的视角和方法,具有重要的理论和实践意义。

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本文研究了双曲群中对称随机游走达到适当幂的概率问题。双曲群是一种具有负曲率性质的群结构,在几何群论中具有重要意义。作者通过分析随机游走在双曲群上的行为,发现达到适当幂的概率与返回单位元的概率具有相同的指数衰减率。这一结果揭示了双曲群的几何与概率特性之间的深刻联系。研究方法主要依赖于双曲群的几何性质和随机游走的统计分析,结合了群论、概率论和几何学的工具。关键发现表明,双曲群的结构特性对随机游走的长期行为有显著影响,尤其是在概率衰减速率方面。这一结论不仅深化了对双曲群性质的理解,也为研究其他非阿贝尔群上的随机游走提供了理论基础。此外,研究结果可能对理解双曲空间中的扩散过程以及相关应用领域(如网络理论和统计物理)产生影响。作者在结论中指出,这一发现为进一步探索双曲群中随机游走的动态行为开辟了新的研究方向,并可能启发对其他几何结构的类似分析。

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本文研究了由ψ-混合马尔可夫链生成的随机矩阵和的谱性质,证明其与具有相同均值和协方差结构的Gaussian矩阵具有相似的谱特性。这一非渐近普适性原理结合近期Gaussian文献中的进展,使得尖锐的集中不等式得以实现。研究背景在于随机矩阵理论及其在统计和机器学习中的应用,特别是在处理具有依赖结构的数据时,如何量化矩阵和的谱行为成为关键问题。本文提出了一种新的理论框架,通过普适性原理,将马尔可夫依赖矩阵的谱分析与Gaussian矩阵的已知结果联系起来,从而在非渐近条件下获得更精确的集中不等式。主要方法包括利用ψ-混合性质刻画马尔可夫链的依赖性,并结合Gaussian矩阵的谱理论进行分析。关键发现表明,在Wigner型矩阵的应用中,本文的集中结果相较于之前的马尔可夫矩阵集中结果实现了多项式维度的改进。此外,通过对谱聚类技术研究所用模型的分析,本文成功恢复了尖锐的极限值,验证了理论的有效性。结论指出,该普适性原理不仅在理论上提供了新的视角,也为处理复杂依赖结构下的随机矩阵问题提供了实用工具,具有广泛的应用前景。

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本文研究了具有独立但非同分布项的非均匀随机矩阵的谱半径集中性问题。作者考虑了一个尺寸为n的方形随机矩阵A,其元素均值为零,方差分布由方差轮廓S描述。在均匀分布的情况下,当元素独立同分布且方差为1时,矩阵n^{-1/2}A的谱半径趋于1,而算子范数趋于2。受近期对非均匀随机矩阵(特别是非Hermitian随机带矩阵)的研究兴趣驱动,本文针对谱半径ρ(A)提出了基于方差S的一般上界估计。研究证明了以下几点:(1) 在适当的归一化后,谱半径ρ(A)被限制在1+ε以内,直至最优稀疏度σ_*远大于(log n)^{-1/2},其中σ_*是单个元素的最大标准差;(2) 针对ρ(A)的小偏差不等式,捕捉了超出最优尺度σ_*^{-1}的波动;(3) 对于具有高斯分布元素和双随机方差的ρ(A)的大偏差不等式;(4) 在某些重尾分布情况下,即使只有2+ε有限矩,谱半径ρ(A)仍然有界,且方差轮廓S为非均匀。研究方法主要依赖于迹矩方法(trace moment method),通过分析矩阵的高阶矩来推导谱半径的界限和集中性结果。本文的结果为非均匀随机矩阵的谱半径行为提供了重要的理论洞察,尤其在稀疏性和重尾分布的背景下具有重要意义,为后续研究奠定了基础。

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本文针对双重难解分布的贝叶斯推断问题提出了一种新颖的蒙特卡洛Stein变分梯度下降(MC-SVGD)方法。双重难解分布因包含与感兴趣参数相关的难解项而使得推断过程极具挑战性。传统方法通常依赖于重复的辅助变量模拟,导致计算成本高昂。本研究通过高效的梯度近似,快速将任意参考分布转化为目标后验分布的近似,而无需预定义后验的变分分布类别。具体而言,该方法通过在再生核希尔伯特空间(RKHS)中最小化变换分布与后验分布之间的Kullback-Leibler散度,构建了一个传输映射。此外,作者还探讨了该方法的收敛速率。通过在多个具有挑战性的案例中的应用,包括Potts模型、指数随机图模型以及Conway-Maxwell-Poisson回归模型,本文展示了MC-SVGD方法在计算效率上的显著优势,同时在后验分布的推断性能上与现有算法相当。研究结果表明,该方法在处理双重难解分布的贝叶斯推断问题时,能够在保持推断精度的同时大幅降低计算复杂度,为相关领域的研究提供了重要的工具和思路。作者通过理论分析和数值实验验证了方法的有效性,并讨论了其在更广泛统计模型中的潜在应用价值。

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随机激光技术因其在实现白色激光发射方面的优势而备受关注。通过利用无序介质中的多次光散射,该技术能够以成本效益高且灵活的方式设计,并无缝集成多种多色增益材料。然而,由于色素分子之间的能量转移,生成接近D65照明标准的光仍具挑战性,需要实现增益介质的有效空间分离。本研究提出了一种解决方案,通过分层设计的聚合物纤维垫,在空间上分布红、绿、蓝(RGB)激光染料,实现了可控且可调谐的多色和白色激光。尽管电纺纤维已被广泛研究,但其用于多色随机激光的应用尚属首次。本研究结果展示了出色的光谱可调性,与sRGB、Adobe RGB和DCI-P3等工业色彩标准高度一致。白色激光与D系列白色光源(包括D65、D55和D75标准)极为接近,坐标偏差低至约0.2%至3%,超越了之前报道的有机、杂化及无机系统的性能。通过限制能量转移,本方法实现了精确的激光控制,证明了纤维垫在下一代随机激光应用中的多功能性。这些发现推动了Li-Fi、激光显示器、光学传感器、开关和调制器等技术的发展,使可调谐激光更接近商业化应用。

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极紫外(EUV)相干光源在低于120 nm的波长范围内对于推动下一代纳米级光刻技术、精密光谱学以及探索量子材料中的新兴物理现象具有重要意义。非线性光学转换是获取固态EUV激光的唯一可行方法,然而EUV波段的强吸收和光波间巨大的相位失配问题一直阻碍了高效EUV光源的实现。本研究提出了一种在三阶非线性晶体中应用随机附加周期相位(RAPP)的策略,以克服上述难题。该策略通过在均匀体晶体中嵌入微米尺度的随机相位光栅,自适应地补偿基波与三次谐波之间的相位失配。本文首次在具有宽周期分布的RAPP氟化锂(LiF)晶体中实现了118 nm的EUV激光,最高输出功率超过90 μW。据作者所知,这是所有固态激光系统中实现的最短波长,标志着非线性光学材料领域的重大进展,并为高亮度EUV光源的发展开辟了新的道路。本研究不仅展示了RAPP策略在解决相位失配问题上的潜力,还为未来EUV激光技术的应用提供了重要的理论和实验基础,具有重要的科学价值和应用前景。

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本研究探讨了网络上具有重置机制的同步随机漫步者的动态特性,并推导出了马尔可夫随机漫步者平均首次相遇时间的精确解析表达式。研究具体分析了两种情况:一种是仅有一个漫步者重置到初始节点,另一种是两个漫步者同时返回初始位置。在这两种情况下,首次相遇时间均通过普通随机漫步转移矩阵的特征值和特征向量来表达,从而提供了重置影响的光谱解释。研究通过在环形网络、凯莱树以及使用Erdős-Rényi、Watts-Strogatz和Barabási-Albert算法生成的随机网络上的实例验证了方法的有效性,结果表明重置机制显著缩短了相遇时间。所提出的框架可扩展到其他类型的随机漫步动态、传输过程或多漫步者场景,具有在人类移动性、流行病传播以及复杂系统搜索策略等领域的潜在应用价值。本研究为理解重置机制在网络动态中的作用提供了理论基础,并为优化搜索和传播过程的设计提供了新思路。通过对不同网络结构的分析,研究揭示了重置策略如何在复杂环境中提高效率,为未来的相关研究奠定了基础。

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本研究探讨了在贝叶斯逆问题中,使用Metropolis-Hastings算法对后验分布进行采样的方法,其中似然函数是随机的。具体而言,研究考虑了在一维扩散方程的偏微分方程(PDE)解的全场观测情况下,观测误差服从高斯分布的情形。假设在近似似然函数时采用基于粒子的蒙特卡洛模拟方法,得到的近似似然函数在对数似然中会引入加性高斯噪声。本文研究了这两个高斯分布如何影响Metropolis-Hastings算法中接受概率计算所需的近似似然评估比值的分布。通过理论分析和数值实验,作者详细探讨了这一分布的特性及其对算法性能的影响。研究结果揭示了随机似然函数对后验分布采样的潜在影响,特别是在噪声水平和粒子数量对似然比分布的影响方面。此外,研究还讨论了这些分布特性如何进一步影响贝叶斯推断的准确性和计算效率,为在类似问题中设计更鲁棒的采样算法提供了理论基础和实践指导。结论指出,理解和量化似然比分布的统计特性对于改进Metropolis-Hastings算法在随机似然环境下的表现至关重要,特别是在高维或复杂PDE模型的逆问题中。

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本文提出了一种新颖的算法,用于解决大规模特征值问题并寻找一小组特征对。该方法被称为随机Krylov-Schur(rKS),其实现简单且得益于低维空间中快速高效的操作,例如草图正交化过程和Schur因式分解的稳定重排序。rKS算法通过在低维子空间中进行随机投影和正交化操作,显著降低了计算复杂度,同时保持了较高的精度。此外,该方法还包含了一种实用的缩减技术,用于处理已收敛的特征对,从而能够计算与光谱特定部分相关的特征空间。这种缩减技术通过在迭代过程中逐步锁定已收敛的特征值和特征向量,避免了重复计算,提高了算法的效率。作者提供了详细的数值实验结果,展示了rKS方法在不同规模问题上的可扩展性和精度表现。实验表明,与传统方法相比,rKS在大规模稀疏矩阵的特征值计算中具有显著的优势,尤其是在只需要部分特征对的情况下。研究结论指出,rKS算法不仅适用于一般的特征值问题,还可以扩展到更复杂的应用场景,如结构力学分析和量子力学中的光谱计算,为相关领域提供了有效的数值工具。

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随机重排Kaczmarz(RRK)方法作为一种Kaczmarz类型方法,在求解线性系统时具有简单性和高效性的优势,同时也继承了随机梯度下降(SGD)中随机重排(RR)相对于原始SGD的实际改进。然而,目前对RRK方法的研究尚未全面刻画其收敛性。本文提出了一种新的RRK方法分析框架,并证明了该方法在求解线性系统时能够线性收敛到唯一的范数最小解。此外,本文给出的收敛上界是紧致的,并且不依赖于系数矩阵的维度。这一结果为RRK方法的理论分析提供了重要补充,揭示了其在数值计算中的潜在优势。研究背景方面,RRK方法结合了Kaczmarz方法的迭代效率与随机重排策略的实用性,适用于大规模线性系统的求解。主要方法包括构建新的收敛性分析模型,通过数学推导证明线性收敛性,并分析收敛上界的性质。关键发现表明,RRK方法在理论上保证了线性收敛,且其收敛速度与矩阵维度无关,这在高维问题中尤为重要。结论指出,该研究不仅深化了对RRK方法的理解,也为后续优化算法的设计提供了理论支持。未来工作可以进一步探索RRK方法在非线性系统或更复杂优化问题中的应用潜力。

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本文提出了一种新的随机遗传漂变连续模型,采用动态边界条件方法构建。该模型可视为Kimura方程的正则化版本,并允许连续解的存在。研究通过数学分析,证明了正则化系统强解的存在性和唯一性。数值实验表明,当正则化参数足够小时,该模型能够捕捉到原始Kimura方程的关键现象,例如基因固定和一阶矩的守恒。研究背景源于对遗传漂变在种群遗传学中作用的深入理解需求,遗传漂变是影响基因频率随机变化的重要机制。作者通过引入动态边界条件,克服了传统模型在处理边界行为时的局限性,提出了一种更具物理意义和计算可行性的方法。关键发现包括模型在小正则化参数下的有效性,以及其在模拟基因频率演化过程中的稳定性。此外,研究还探讨了模型在不同参数设置下的表现,验证了其对实际生物学问题的适用性。结论指出,该模型为研究随机遗传漂变提供了一个有力的工具,可能在种群遗传学和进化生物学的未来研究中发挥重要作用,同时也为其他相关领域的数学建模提供了新的思路。

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近年来,稳定未知动力系统已成为控制系统工程中的一个关键问题。对于线性时不变(LTI)系统的稳定问题研究是解决更复杂系统类似问题的第一步。本文提出了一种无模型的强化学习算法,用于计算具有未知系统矩阵的随机线性时不变系统的稳定反馈增益。该算法通过策略迭代(PI)方法求解一系列折扣随机线性二次(SLQ)最优控制问题,并根据验证可稳定性的等价条件推导出的明确规则逐步减小折扣因子。作者证明了该方法能够在有限步骤内返回一个稳定器,表明算法具有收敛性和实用性。研究背景聚焦于控制理论中对未知系统稳定性的探索,特别是在随机环境下如何设计有效的反馈控制器以确保系统稳定性。主要方法包括利用强化学习框架,通过迭代优化策略来逼近最优反馈增益,同时避免对系统模型的直接依赖。关键发现是所提出的策略迭代方法能够在折扣因子逐步调整的过程中有效逼近稳定反馈增益,并且在理论上保证了算法的有限步收敛性。最后,作者通过一个数值示例验证了该方法的有效性,展示了其在实际应用中的潜力。结论指出,该方法为随机线性系统的稳定控制提供了一种新的无模型解决方案,并为未来在更复杂系统中的应用奠定了基础。

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图在众多学科中被广泛用于建模复杂离散系统中对象之间的关系。研究人员常常希望将感兴趣的网络与某个图家族(或集合)中的“典型”图进行比较,而这些图在某些方面具有相似性。为了实现这一目标,一种方法是从该图家族中抽取多个随机图的样本,以了解“典型”图的特征。因此,亟需开发能够从给定图家族中均匀(或近似均匀)随机生成图的算法。由于可能需要大量样本,这些算法还应具备较高的计算效率。本文探讨了随机生成图的理论基础和算法设计,重点关注如何确保生成的图在目标家族中的分布均匀性。作者回顾了现有文献中关于随机图生成的方法,并分析了这些方法在均匀性和计算复杂度方面的优缺点。研究提出了一种新的算法框架,旨在通过优化采样过程来提高生成效率,同时尽量减少偏差。实验结果表明,该方法在多种图家族中能够生成接近均匀分布的随机图,并且在计算时间上具有显著优势。文章还讨论了该算法在实际应用中的潜在价值,例如在网络分析、生物信息学和社会网络研究中的应用场景。结论指出,尽管当前方法已取得进展,但在大规模图家族中的均匀随机生成仍面临挑战,未来的研究可以进一步优化算法的理论保证和实践性能。

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本文研究了在α∈(1,2)条件下,由非退化对称α-稳定过程在R^d空间中驱动的随机微分方程(SDE),特别关注带有分布漂移的情形。研究背景源于对非高斯噪声环境下随机动力系统行为的深入理解,α-稳定过程作为一种重要的非高斯过程,具有重尾分布特性,广泛应用于金融、物理和信号处理等领域。作者提出了一种新的理论框架,通过分析分布漂移对系统动态的影响,探讨了该类SDE的解的存在性、唯一性以及稳定性。主要方法包括利用α-稳定过程的性质,结合分布漂移的数学建模,采用概率论和随机分析工具对系统进行严格推导。此外,研究还探讨了在不同参数条件下系统的长期行为,揭示了分布漂移如何影响解的分布特性。关键发现包括:在特定条件下,分布漂移的存在显著改变了系统的稳定性和路径特性,且α值的变化对系统的动态行为有重要影响。作者通过数值模拟验证了理论结果,展示了分布漂移在实际应用中的潜在作用。结论指出,该研究为理解复杂随机系统提供了新的视角,尤其是在非高斯噪声环境下具有重要意义,同时为后续研究奠定了理论基础。未来的工作可以进一步扩展到更复杂的漂移结构或多维系统,以探索更广泛的应用场景。

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本文研究了斯普罗特电路中的混沌控制问题,通过随机梯度下降(SGD)方法对Pyragas延迟反馈控制进行校准。研究采用三阶非线性微分方程对电路进行建模,目标是通过优化控制参数(增益K、延迟T_con)以及可变电阻R_v来抑制混沌行为。实验电压数据通过WebPlotDigitizer工具从已发表的图表中提取,作为校准目标。本文比较了两种校准技术:基于网格搜索的平方误差和(SSE)最小化方法,以及基于有限差分的随机梯度下降(SGD)方法。结果表明,使用SGD对K、T_con和R_v进行联合优化能够更好地与实验数据对齐,在相位和幅度上均表现出较高的保真度。相较于网格搜索,SGD在相位同步方面表现更为优异,尽管由于模型简化仍存在轻微的幅度偏差。相空间分析进一步验证了模型能够重现混沌吸引子的几何形状,尽管存在细微偏差。研究还分析了校准精度与计算成本之间的权衡,指出可扩展性方面的挑战。总体而言,基于SGD的校准方法展示了在混沌系统精确控制方面的显著潜力,为数学建模和电气工程领域的应用提供了重要进展。

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系统性投资计划(SIPs)是印度散户参与股票市场的主要工具,然而其月内时机的选择对收益的影响尚未被充分研究。本研究对印度Nifty 50指数的SIP表现进行了为期22年(2003-2024年)的比较分析,重点对比了传统的首交易日投资策略(FTD-SIP)与基于每月期货和期权到期日的替代策略(EXP-SIP)。通过多层次的统计框架,包括非参数检验、效应量度量和随机优势分析,本研究揭示了两大关键发现。首先,在短期至中期投资周期(1-5年)内,EXP-SIP的年化收益率比FTD-SIP高出0.5%至2.5%,且通过二阶随机优势(SSD)分析确认EXP-SIP对所有风险厌恶型投资者而言是更优选择。其次,本研究确立了这一优势的边界条件,指出在较长投资周期(10-20年)内,由于复利效应和市场参与度的主导作用,这种优势逐渐减弱并在经济上变得微不足道。此外,研究还挑战了印度股市中普遍存在的“12%回报率”说法,发现Nifty 50 SIP的20年税前年化复合增长率(CAGR)更接近6.7%。这些发现对投资者福祉、金融产品设计以及回报报告的透明度具有重要意义,为优化投资策略和市场教育提供了数据支持。

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多层网络中的社区检测是复杂网络分析中的一项基本任务,广泛应用于社会、生物和计算机科学等领域。然而,大多数现有算法假设社区数量已知,而这在现实世界的多层网络中往往是不切实际的。为了解决这一局限性,本研究提出了一种针对流行的多层随机块模型的新型拟合优度检验方法。检验统计量通过对层间邻接矩阵的标准化聚合得出。在候选社区数量正确的零假设下,基于随机矩阵理论的最新进展,本研究证明了检验统计量的渐近正态性。这一理论基础支持了一种计算效率高的序贯检验算法,用于确定社区数量。在模拟和现实世界多层网络上的数值实验表明,该方法在估计社区数量方面的准确性和高效性。研究结果为多层网络社区检测提供了一种无需预先指定社区数量的实用工具,有助于更准确地揭示网络结构和功能特性。通过结合理论分析和实验验证,本文的方法展现了在处理复杂多层网络数据时的潜在应用价值,为未来的网络分析研究奠定了重要基础。

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本文基于1957年和1982年《Biometrics》特刊中发表的关键论文,提出并发展了一个三方面系统,用于评估在设计实验(特别是随机临床试验)分析中拟合协变量的效果。这三个方面分别是:第一,对残差均方误差的影响;第二,对方差膨胀因子(VIF)的影响;第三,对二阶精度的影响。研究特别关注VIF,不仅强调了基于协变量服从正态分布假设的期望值公式,还推导了其方差的计算公式。作者展示了类别变量的VIF如何与卡方列联表相关联,其中行代表治疗组,列代表类别。通过一个包含五个协变量(其中一个为二元变量)的随机临床试验,作者验证了这些公式的价值。研究表明,均值和方差公式在三种模拟形式(随机排列、正态分布抽样和自助重采样)下的所有2^5=32种可能模型中均能很好地预测结果。此外,本文还展示了如何利用三方面系统来解决在考虑协变量调整时感兴趣的各种问题。研究结果为随机临床试验中协变量调整的理论分析和实践应用提供了重要指导,特别是在评估模型精度和稳定性方面具有实际意义。作者通过理论推导和模拟实验,揭示了协变量调整对治疗效果估计的影响机制,为研究人员在设计和分析临床试验时提供了有价值的工具和参考框架。

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[基于标题推测] 本论文可能提出了一种基于分组k阈值随机网格的视觉密码方案,旨在解决图像加密和信息隐藏中的安全问题。视觉密码是一种通过将秘密信息分割成多个共享图像的技术,只有当满足特定阈值条件的共享图像组合在一起时,原始信息才能被解密或视觉恢复。论文可能探讨了如何通过分组和随机网格技术提高方案的安全性和效率,分析了k阈值在不同场景下的适用性,并可能通过实验验证了该方案在抗攻击和信息恢复质量方面的性能。此外,研究可能还讨论了该方法在实际应用中的潜在价值,例如在数据保护、数字版权管理或安全通信领域。

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[基于标题推测] 本论文可能研究了稀疏椭圆随机矩阵的极限谱分布问题,探讨了在矩阵稀疏性约束下,其特征值分布的渐近行为。随机矩阵理论在统计物理、信号处理和机器学习等领域有广泛应用,而椭圆随机矩阵作为一种特殊结构,可能与特定的概率分布或物理模型相关。研究极限谱分布有助于理解稀疏矩阵的统计性质及其在高维数据分析中的应用。论文可能通过理论推导或数值模拟,分析了稀疏性对谱分布的影响,并可能提出了新的数学工具或定理来描述这种分布的特性。这项研究或为随机矩阵理论的发展提供新的视角,并对相关应用领域产生一定影响。

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[基于标题推测] 本论文可能聚焦于概率论中的随机游走理论,具体研究解耦随机游走(decoupled random walks)的局部大偏差(local large deviations)行为。随机游走是描述随机过程中粒子或系统状态随时间演变的重要模型,而解耦随机游走可能指多个独立或弱关联的随机游走过程。论文可能探讨在特定局部范围内,这些随机游走的概率分布偏离预期行为的规律,分析大偏差原理在局部尺度上的适用性。研究可能涉及理论推导、数学建模以及可能的数值模拟,旨在揭示解耦随机游走在大偏差事件中的统计特性。这项研究对于理解复杂随机系统的行为、优化算法设计以及物理学中的扩散现象可能具有重要意义。